Faculté des Sciences et Techniques de St Jérôme
et antenne d'Aix-en-Provence
Examen de M l- Durée 4h
Septembre 2003

Note - La rédaction est un élément important dans l'appréciation de la copie. Aucun résultat non justifié ne sera pris en compte.

COURS

Démontrer que N x N est dénombrable.
Démontrer que Q est dénombrable.

(Si vous utilisez un critère de dénombrabilité, il vous est demandé de le démontrer également).

EXERCICE

Soit x un nombre réel. Pour tout entier naturel n, on définit la suite (x_n)_nεN par
xn = 1/10ⁿ E(10ⁿx)
où E désigne la fonction partie entière.

l) Montrer que pour tout entier naturel n, on a :
10ⁿ ≥ n².

2) Déduire de ce qui précède que
lim n(x - x_n) = 0.
n → +∞

PROBLEME

Dans tout cet énoncé on dira qu'une application f est additive sur R si elle est définie sur R et vérifie pour tous réels x, y

f (x+y)=f (x)+f (y). (1)

On rappelle qu'une fonction définie sur R est dite monotone lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante sur R.

1) Soit f une fonction additive sur R. On pose a = f (1).

(a) Montrer que f (0) = 0 et que pour tout réel x
f (-x) = - f (x)

(b) Montrer que pour tout entier naturel n
f (n) = an.
En déduire que f (n) = an pour tout entier n E Z.

(c) Montrer que pour tout entier naturel non nul n
f (1/n) = a/n
En déduire que pour tout nombre rationnel r
f (r) = ar.

2) Soit f₁ une fonction additive et monotone sur R. On pose a₁ = f₁ (1).

(a) Soit un réel x.
i. Justifier l'existence de deux suites de nombres décimaux (x_n)_nεN et (y_n)_nεN qui convergent vers x et qui vérifient pour tout entier naturel n
x_n≤ x ≤ y_n.

ii. En supposant f₁ croissante sur R et en utilisant les résultats obtenus à la question 1), démontrer que pour tout entier naturel n
a₁x_n ≤ f₁(x) ≤ a₁y_n.

(b) En conclure que pour toute fonction f₁ additive et monotone sur R et pour tout réel x on a
f₁(x) = a₁x.

3) Soit f₂ une fonction additive et continue sur R. On pose a₂ = f₂(1).

(a) Pour tout réel x, justifier rapidement l'existence d'une suite de nombres rationnels (r_n)_nεN telle que
lim r_n = x.
n → +∞

(b) En conclure que pour tout réel x on a
f₂(x) = a₂x.

4) Soit f₃ une fonction additive sur R. On suppose qu'il existe deux réels α > 0 et M > 0 tels que pour tout réel u ε [-α, α]
| f₃(u)| ≤ M.

(a) Soit x un nombre réel. On pose a₃ = f₃(1).

i. Justifier l'existence d'une suite de nombres rationnels (r_n)_n telle que
lim r_n = x et
n → +∞

lim n |x - r_n| = 0
n → +∞

NB : On pourra utiliser sans démonstration le résultat établi dans l'exercice.

En déduire l'existence d'un entier naturel n₀ tel que pour tout entier naturel n, n ≥ no, on ait

n(x - r_n) ε [-α, α].

ii. Montrer que pour tout entier naturel n

| f₃(x) - a₃x| ≤ | f₃(x) - f₃(r_n)| + |a₃| |x - r_n|.

Après avoir justifié que
f₃(x) - f₃(r_n) = 1/n f₃(n(x -n_r),

en déduire que pour tout entier naturel n, n ≥ no,
|f₃(x) - a3x| ≤ M/n + |a₃| |x - r_n|.

(b) En utilisant ce qui précède, conclure que pour tout réel x
f₃(x) = a₃x.

5) Soit g une application de ]0, +∞[ dans R vérifiant pour tous réels strictement positifs u, v
g(uv) = g(u) + g(v).
On note. exp la fonction exponentielle de base le nombre e, fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, notée ln.

(a) On suppose, seulement dans cette question, que g est monotone sur ]0, +∞[.

i. Montrer que l'application g o exp est additive et monotone sur R.

ii. En déduire l'existence d'un réel k tel que pour tout réel strictement positif u on ait :
g(u) = k ln(u).

(b) On suppose, seulement dans cette question, que g est continue sur ]0, +∞[. En utilisant une démarche analogue à celle du (a) précédent, montrer l'existence d'un réel k' tel que pour tout réel strictement positif u on ait
g(u) = k ' ln(u).