Faculté de Saint-Jérôme, année 2003-2004

UV M2 TD1 Les nombres complexes

Exercice 1

Trouver module et argument des nombres complexes :
1 + i, (1 + i)⁷, (1 + i)⁷², 1 - i√3, - √3 - i, (1 - i √3) / ( - √3 -i), (- √3 - i)⁴, (1 + i √3)²⁰⁰³

1 + i
module : |z| = √2
cos arg = sin arg = 1/√2 = √2/2
arg = π/4
1 + i = √2 e^iπ/4

(1 + i)⁷ = (√2)⁷ e^7iπ/4 = 8 √2e^-iπ/4

(1 + i)⁷² = (√2)⁷² e^(72iπ)/4
Arg = (72 iπ)/4 = 18 iπ= 0
(1 + i)⁷²= 2³⁶

1 - i√3
| 1 - i√3| = 2
cos arg = 1/2
sin arg = - √3/2
arg = 7π/6
1 - i√3 = 2 e^-iπ/3

- √3 - i
cos arg = - √3/2
sin arg = - 1/2
- √3 - i = 2 e^7iπ/6

(1 - i √3) / ( - √3 -i) = e^{-3i π/2} = e ^{i π/2} = i

(- √3 - i)⁴ = 2⁴ e^28iπ/6p
(- √3 - i)⁴ = 2⁴ e^14iπ/3
14π/3 = 4 π + 2 π/3
(- √3 - i)⁴ = 2⁴ e^2iπ/3

(1 + i √3)²⁰⁰³ = 2²⁰⁰³ e^2003iπ/3p
2003 = 668 . 3 -1
(1 + i √3)²⁰⁰³ = 2²⁰⁰³ e^-iπ/3

Exercice 2

Le plan étant muni d'un repère orthonormé (O, ,), determiner les ensembles E, F, G des points M(x,y), d'affixe z tels que:

E : | (1 - i)z + 2i | = 2 ; interpretation géométrique ; équation cartésienne de E dans le repère(O, ,)

On cherche |z - za| = Ω
| (1 - i)| | z +(2i/(1+i))| = 2
| z-(1- i) | =√2

cercle C ( Ω(1-i), √2)
équation cartésienne : (x-1)² + (y+1)² = 2

F : | z - 1| = | z - (1 + √3) + i | ; interpretation géométrique ; équation cartésienne de F

Soit M(z), A(1) et B( (1 + √3) + i)
|z - z_a| = |z - z_b|
AM = BM
M appartient à la médiatrice AB.

M appartient à F si et seulement si = 0
[x - (1+ √3/2)] . √3 + [ y+ 1/2] . (-1) = 0
√3x +y - √3 - 2 = 0

G : | (z + 1) / (z - 1 + i √3) | = 1 ; interpretation géométrique ; équation cartésienne de G

| z+1| = | z-1+i√3 |
M(z) A(-1) B(1; i √3)
AM = BM

M appartient à F si et seulement si = 0
( x -1/2).2 + (y+1) . (√3 +1) = 0
2x + (1+√3 )y + √3/2 - 1/2 = 0

Exercice 3

1) Déterminer les nombres complexes z tels que : z, (1 - z) et 1/z aient le même module.

|z| = |1/z| = 1/|z|

|z| = 1 la distance OM = 1

|z| = |1-z|
OM = AM où A(1)

M appartient à la mediatrice de [OA]

M₁ et M2 sont les intersections du cercle de centre O et de rayon 1 et de la la mediatrice de [OA]

Affixe de M₁ z₁ = 1/2 + i √(3/2)
Affixe de M₂ z₂₁ = 1/2 - i √(3/2)

2) Déterminer tous les nombres complexes de module 1, tels que z³ -z soit réel (voir si possible, différentes méthodes).

           _   _
z³-z = z ³-z
              _           _          _            _      _
<=> z³ - z³ - z + z = (z - z ) (z² + z² + zz - 1) = 0
       _          _
(z - z) (z² + z²) = 0
             _                                          _
<=> z = z                           ou    z² + z² = 0   
  _                                                        _
zz = 1                                                 zz = 1

cas 1) z est réel et |z| = 1
z =1 ou z = -1

cas 2)
x² - y² = 0
x² + y² = 1

<=>
x² = 1/2
y² = 1/2
|x| = |y| = √2/2

{ 1 ; -1 ; +ou-√2/2; +ou- i √2/2}

Exercice 4 : Equations dans C

1) Que signifie les expressions "racines carrées", "racines cubiques" d'un nombre complexe Z ?

Les racines n ^ième d'un nombre complexe sont les solutions de l'équation zⁿ = z. Si z = 1, les racines n ^ième de l'unité.

2) Déterminer les racines carrées de Z = 1 + 4i√3 , et de Z' = 1 + i; méthodes possibles?


Z = 1 + 4i√3

Z = x + iy

|Z²| = 7

Z² = x² - y²+ 2xiy = 1 + 4i√3

x² - y² = 1
2xiy = 4i√3
x² + y² = 7

x = 2, y = √3 ou x = -2, y = -√3

Z = 2 + i√3 ou Z = - 2 - i√3

Z'² = 1 + i

Z'² = r² e^i2θ = √2 e^iπ/4

r² = √2 <=> r = 2 ^1/4

2θ = π/4 + 2kπ <=> θ = π/8 + kπ

Z' = + ou - 2^1/4 e^iπ/8+kπ
k = 0 ou k =1

3) Résoudre les équations dans C, rédiger convenablement la solution :
a) z⁶ = 1; représenter les points M d'affixe z dans le plan complexe;

z⁶ = re ^i6θ = e ^i2kπ

r⁶ = 1 <=> r =1
6θ = 2kπ <=> θ = kπ/3

z⁶ = e ^ikπ/3.
K appartient à N, K compris entre 0 et 5.

b) z³ = 1 + i

z³ = re ^i3θ = 1 + i = √2 e^iπ/4

r³ = √2<=> r = 2 ^1/6
3 θ = π/4 + 2kπ <=> θ = π/12 + 2 kπ /3
K appartient à N, K compris entre 0 et 2.

z = 2 ^1/6 e ^{i(π/12 + 2 kπ /3)}

c) z⁵ = -1 + i√3

r⁵ = 2<=> r = 2 ^1/5.
5 θ = 2π/3 + 2kπ <=> θ = 2π/15 + 2 kπ /5

z = 2 ^1/5 e ^{i(2π/15 + 2 kπ /5)}
K appartient à N, K compris entre 0 et 4.

d) z⁷ = -1

z = e ^{i(π/7 + 2kπ /7)}
K appartient à N, K compris entre 0 et 6.

e) z⁴ = 1 / (1 + i√3)

1 / (1 + i√3) = 1/2 e ^-iπ/3 .

z = 2 ^3/4/2 e ^{-i(π/12 + kπ /2)}

f) z⁸ + 4z⁴ +16 = 0

(z²)⁴ + (4z)⁴ + 16 = 0

Z = z⁴
Z ² + 4Z + 16 = 0

Z₁ = -2 + 2√3i
Z₂ = -2 - 2√3i

z = √2 e ^{i(-2π/12 + 7kπ /2)}
ou
z = √2 e ^{i(-2π/12 + 7kπ /2)}.

4) Quelles sont les racines cubiques de Z = 1 + e^2iπ/3 ?

z = e ^{i(π9+ 2kπ /3)}.

5) Résoudre dans C l'équation : Z² - Z + 1 = 0

z₁ = 1/2 - √3/2i
z₂ = 1/2 +√3/2i

Exercice 5 : Linéarisation

On ne sait pas, en général, déterminer les primitives des fonctions trigonométriques si celles
ci ne sont pas linéarisées, c'est à dire si elles comportent des exposants strictement supérieurs à 1.
Dans ce but, linéariser les fonctions g, h et donner leurs primitives sur R.

g(x) = sin⁵x

sin⁵x = (e^ix - e^-ix)⁵ / 2⁵i = 1/ 2⁵i (e^5ix - 5 e^3ix +10e^ix - 10e^-ix + 5 e^-3ix -e^-5ix ) = 1/ 2⁵i ( i(2 sin (5x) - 10 sin(3x) + 20 sin(x)))

h(x) = cos³x.sin⁴x

cos³x.sin⁴x = (e^iθ + e^-iθ/2)³ (e^iθ - e^-iθ/2i )⁴ = 1/2⁶ (cos 7x - cos 5x - 3 cos 3x + 3 cos x)

Exercice 6

On considère un réel x différent de 2mπ (m appartient à Z).
1)
a) Calculer S_n = Σ (de k =0 à k = n) e^ikx.

S_n = 0 + e^ix + e^i2x + ... + e^inx = 1 - ^ei(n+1)x / (1 - e^ix) = ((sin ((n+1)/2)x / sin x/2) e ^{n/2 ix}

b) Calculer la partie imaginaire de Sn.