Faculté de Saint-Jérôme, année 2003-2004

UV M2 TD4 Fonctions de plusieurs variables

Exercice 1

Déterminer les dérivées partielles premières par rapport à x, y, z de la fonction :

f( x, y, z ) = z sin(xy) + cos(xz³)

df/dx = zy cos(xy) - z³ sin(xz³)
df/dy = zx cos(xy)
df/dz = sin(xy) - 3xz² sin (xz³)

Exercice 2

Déterminer les dérivées partielles de la fonction :

h(x,y) = ye^x² + x lny

δh/δx et δh/δy, pour (x,y) appartenant D_h, ensemble de définition de h, ainsi que δ²h/δxδy, δ²h/δyδx, δ²h/δx², δ²h/δy².

δh/δx = 2xy e^x² + ln y.
δh/δy = e^x² + x/y
δ²h/δxδy = 2x e^x² + 1/y
δ²h/δyδx = 2x e^x² + 1/y
δ²h/δx² = 4x²y e^x².
δ²h/δy² = -x/y².

Exercice 3

Montrer que , c étant un réel donné, la fonction f :

(t,x) → f(t,x) = sin(x - ct) vérifie l'équation différentielle aux dérivées partielles :

δ²f / δt² = c²δ²f/δx².

Cette équation est dite équation des ondes.

δf / δt = - c cos(x-ct)
δ²f / δt² = - c² sin(x-ct)

δf/δx = cos(x-ct)
δ²f/δx² = - sin(x-ct)

δ²f / δt² = c² δ²f/δx² .

Exercice 4

Considérons deux objets ponctuels M et N qui se déplacent dans un plan rapporté à un repère orthonormé. Le mouvement de M est décrit par les équations paramétriques :

x(t) = cost
y(t) = 2sint
celui de N est décrit par
X(t) = sin2t
Y(t) = 3cos2t
On note F, fonction de t, la distance des deux points à l'instant t.
A l'instant t = π, calculer la dérivée dF/dt .
Iinterpréter cette valeur en termes physiques.