Dérivation et integration
Dérivation
La dérivée d'une fonction en un point x0 est la limite d'un taux d'accroissement.
f '(x0) = lim f(x) - f(x0) / x - x0 quand x tend vers x0.
Intégration
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives F définie à une constante près. a ∫b f(x) dx = F(b) - F(a)
Intégration par partie
Soient u,v des fonctions définies, dérivables dont la dérivée est continue sur un intervalle [a,b] alors
a ∫ b u'(t) v(t) dt = [uv]ba - a ∫ b u(t) v'(t) dt.
Intégration par changement de variables
Théorème : Soit f une fonction dérivable, à dérivée f ' o f continue sur I, et soit g une fonction dérivable, à dérivée continue sur [a;b]
alors on a : ∫ F ' (g(t)) g'(t) dt = g(a)∫ g(b) f(x) dx.
Liste des dérivées et primitives usuelles
| f(x) | f '(x) | f(x) | f '(x) |
|---|---|---|---|
K appartenant à R |
0
|
x |
1 |
x²
|
2x |
xn n appartenant à R |
nxn-1 |
1/x sur R* |
-1/x² |
1/v |
-v'/v² |
√x sur R+* |
1/(2√x) |
ku |
ku' |
u + v |
u' + v' |
u.v |
u'v + v'u |
u/v |
(u'v - uv')/v² |
v(ax + b) |
av'(ax + b) |
ln(x) |
1/x |
eu |
u'eu |
cos x |
- sin x |
sin x |
cos x |
tan x |
1/(( cosx)2) |