UV M2 SEPTEMBRE 2003
Faculté des sciences de St Jérôme
Documents et calculatrice interdits
Il sera tenu compte dans la note de la qualité de la présentation, de la rédaction et de l'orthographe.
Exercice I
Déterminer les modules et arguments des nombres complexes :
Z = ((1-i)/2)12 , Z ' = (√2 + i√6 )3, Z" = Z / Z '
Résoudre l'équation complexe: z8 = √2 +i√6, indiquer où se situent les points images, dans un repère orthonormé, des affixes solutions de cette équation.
Exercice II
Calculer les intégrales suivantes:
a) I = !01ex / (ex+1) dx
b) J =! x2/ (1+x2) dx
c) K = x(Arc tanx)dx
Exercice III
Soit la fonction f définie sur R* x R* par f (x, y) = 2xy + 1/x2 + 1/y2.
Calculer les dérivées partielles premières de f en (x,y) et en déduire le gradient de f en (x,y) et les points stationnaires c'est à dire les points (x,y) en lesquels les deux dérivées partielles premières s'annulent.
Exercice IV
Etudier la courbe paramétrée donnée par :
x(t) = 2cost - cos2t
y(t) = 2sint - sin2t
On étudiera précisément les symétries dues aux propriétés de parité, les périodicités, pour obtenir un intervalle d'étude simple.
On tracera la courbe.
Exercice V
Soit f la fonction vectorielle donnée par:
f : R3 → R3.
(x,y,z) → (z cosy (sinx +cosx), -x. .sin x.siny , x. sinx . cosy)
Déterminer le gradient de f, la divergence de f et le rotationnel de f. f dérive-t-elle d'un potentiel ?