Déterminants
Déf (Leibniz)
Pour tout A=(aij)i,j appartenant à M(k):
det A = somme (z appartenant à Sn) sign(z) a1z(1) . a2z(2) ...anz(n)
Linéarité et alternance du déterminant
Soit A' obtenue de A en multipliant tous éléments de la j-ième colonne(ou i-ème ligne) pour w appartenant à K
Det A' = w det A.
Soit A une matrice où, pour j donné et tout i, l'élément aij = a'ij + a''ij et soit A' la matrice obtenue de A en remplaçant la j-ième colonne par
a'ij ... a''ij |
det A = det A' + det A''
Soit A' obtenue en échangeant la i-ième ligne et la j-ième ligne (pareil pour les colonnes), alors
det A'= - det A
Corollaire
Pour tout A appartenant à Gln (K), on a
A exp (-1) = (1/det A) ((-1)exp(i+j) Aij)i,j
Corollaire de Laplace
Développement du determinant par la i-ième ligne (ou j-ime colonne).
det A = somme(k=1 jusqu'à k=n) (-1) exp (i+k) aik Aik
Règle de Cramer
Soit A inversible et carré (les coeff), x "variables" et b "constantes". Alors le système Ax=b a une solution unique donnée par
x=det
| a1,1 | a1,i | b1 | a1,i+1 | a1,n |
| an,1 | an,i | bn | an,i+1 | an,n |
/det A
Proprietés
Si 2 lignes ou 2 colonnes sont identiques det A = 0.
Si 1 ligne (ou colonne) est complétement à valeur 0 det A=0