Espaces vectoriels et applications linéaires

 

Définition

Soit K un corps ("corps des scalaires"), un ensemble V, munie d'une addition

+ : v+v V et d'une multiplication externe

k.v V

(λ,v)λv

(v,w)v+w

s'appelle "espace vectoriel"

 

1 v par rapport à "+" est un groupe abélien

2 Pour tout λ, μ appartenant K et u,v appartenant à V on a :

(λ+μ) v = λv + μv

λ(u+v) = λu +λv

( λu)v = λ(uv)

1.v=v

Définition d'un sous-espace vectoriel

Soit V espace vectoriel et v' inclut dans V. V' est un sous espace vectoriel de V

V' est fermé par rapport à "+" et à "." et V' ≠.

ou 1/ 0 appartient à V'.

2/ pour tt v,w appartenant à V' v+wappartient à V'.

3/ pour tout λ appartenant à K, v appartenant à V λv appartient à V'.