Faculté des Sciences de Saint-Jérôme
Deuxième semestre 2002/2003
DEUG MIAS première année

M4 - Examen session juin 2003

Mercredi 11 juin 2003 - Durée de l'épreuve : 2 heures.

Pas de calculatrice. Aucun document n'est autorisé.

1. EXERCICE

Soit n un entier naturel, n ≥ 3. On rappelle que A_n désigne le groupe alterné et S_n le groupe symétrique.

1. Soit σ un élément de Sn montrer que σ² appartient à A_n.

2. On considère τ = (i, j) o (k, l).
a) Vérifier que τ appartient à A_n.
b) On suppose que i, j, k et l sont quatre entiers distincts. Trouver σ ε S_n tel que τ = σ² .
Indication : on pourra considérer σ tel que σ(i) = k.
c) On suppose maintenant que l = j, τ = (i, j) o (j, k).
Trouver σ ε S_n tel que τ = σ² .
d) En déduire que tout élément α de An peut s'écrire α = σ²₁ o ... o σ²_k, où les σ_i sont des éléments de S_n.

2. PROBLEME

On s'intéresse dans cet exercice aux solutions entières de l'équation de Fermat

x² + y² = z² (E)

1. Soit (x, y, z) appartenant à Z³ une solution de (E) telle que x, y et z n'aient pas de diviseurs communs (autre que 1).
a) Montrer que x, y et z sont premiers entre eux deux à deux.
b) En déduire que parmi ces trois nombres, un au plus est pair.
c) Prouver que z est impair.
d) Prouver que x et y sont de parités contraires.

Dans la suite de cette question 1, on supposera par exemple que x est impair est que y est pair.
e) Montrer que PGCD(z - x, z + x) = 2.
f ) Justifier l'existence de (α,β,γ) ε Z₃ tel que
z - x = 2α
z + x = 2β
y = 2 γ
g) Vérifier les propriétés suivantes
γ² = α β
PGCD (α, β) = 1
h) En déduire qu'il existe (u, v) ε Z₂ tel que
γ² = α β
α = u²
β = v²
PGCD(u, v) = 1.
Indication : on pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers de γ.
i) Donner l'expression de (x, y, z) en fonction de u et v.

2. On veut maintenant déterminer toutes les solutions de (E).
a) Montrer que tout (x, y, z) de la forme obtenue à la question 1.i) est bien solution de (E)
b) En déduire toutes les solutions (x, y, z) de (E) telles que x, y et z n'aient pas de diviseurs communs (autre que 1).
c) On suppose maintenant que x, y et z ont des diviseurs communs (autre que 1). Soit d le plus grand diviseur commun de ces trois nombres.
En posant x = dx', y = dy' et z = dz' et en utilisant la question 1, trouver quelle forme doit avoir (x, y, z) pour être solution de (E).
d) En déduire l'ensemble des solutions de (E).