ni documents, ni calculatrices 4 questions - barème /12 - partiel /8

/3 Question I

On se place dans le monoïde (Z/91 , .) .
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/0,2 1. Pourquoi la classe 10 est-elle inversible?
                                           _
/0,4 2. Calculer l'inverse de 10. (On pourra utiliser une relation de BÉZOUT.)

/0,2 3. (En utilisant le crible d'ERATOSTHÈNE, vérifier que 91 est premier.) (question entre parenthèse car 91 n'est pas 1er)

/0,3 4. Quel est le cardinal du groupe (Z/91 , .)^x ? (Justifier la réponse.)
                                                                                                                                                                          _
/0,3 5. Un théorème (dont on donnera l'énoncé) précise les valeurs que peut prendre a priori l'ordre de la classe 10 dans (Z/91 , .)^x . Quelles sont ces valeurs ?
(Une caractérisation suffit.)

/0,5 6. Calculer cet ordre.

/0,2 7. Expliquer comment la sous-question précédente permet de trouver un facteur premier de 999999.

/0,4 8. Décomposer en facteurs premiers le nombre 999999.

/0,5 9. Utiliser cette décomposition pour résoudre l'équation x/999999 = 1/91 , puis déduire de la valeur de x le développement décimal de 91 . On écrira deux périodes au moins. Une réponse utilisant une division euclidienne ne sera pas admise.

/2 Question II

/0,5 1. Les facteurs premiers de 9! + 1 sont tous ≥ 11. Pourquoi?

/1,5 2. En utilisant des congruences (mod p), calculer le reste de la division euclidienne de 9! + 1 par p pour les nombres premiers p = 11,... jusqu'à obtenir un reste = 0 . (On n'utilisera donc pas l'expression décimale de 9! + 1.)
En déduire que 9! + 1 n'est pas premier. (Il n'y a pas plus de cinq nombres premiers p à tester.)

/5 Question III

On se place dans (ζ 7, o) .
On pose d'abord σ = (7654)(321).
(Pour la notation des cycles, il est permis d'utiliser une autre convention que celle utilisée en cours, à condition de le mentionner explicitement.)

/0,2 1. Déterminer le support de σ.

/0,3 2. Calculer la signature de σ .

/0,4 3. Calculer l'ordre (noté o) de σ.

On note H : < σ > le sous-groupe de (ζ 7, o) engendré par σ .

/0,2 4. Quel est le cardinal de H ?

/0,3 5. Un théorème (dont on donnera l'énoncé si cela n'a été fait à la Q. I) précise les valeurs que peut prendre a priori l'ordre d'un élément p e H. Notons V l'ensemble de ces valeurs.
Enumérer les éléments de V.

/1 6. Donner la décomposition en cycles des puissances successives σ¹, ..., σ° de σ.

/0,7 7. Vérifier que pour chaque entier ρ є V ^{(~> 5)} il existe effectivement une permutation ρ є H dont l'ordre vaut ρ.

On pose ensuite τ = (7654321).

/0,2 8. Déterminer le support de τ .

/0,3 9. Calculer la signature de τ .

/0,4 10. Calculer l'ordre de τ .

/1 11. Donner la décomposition en cycles de σ o τ

/2 Question IV

Soit (G, .) un monoïde. Rappelons qu'un inverse à gauche de x є G est un élément y є G tel que l'on a
y.x = l_G et que l'on définit d'une façon analogue un inverse à droite.
On se place alors dans le monoïde (R^R, o) et l'on pose
f : R → R : x-→ e^x.

/0,5 1. Donner deux inverses à gauche distincts de f .

/0,5 2. Démontrer que f n'admet pas d'inverse à droite. (Raisonner par l'absurde.)

/1 3. Donner une condition nécessaire et suffisante
(en termes d'une propriété élémentaire d'une application : bijectivité, injectivité, surjectivité, ...)
pour qu'une fonction h : R → R admette un inverse à droite. Donner une démonstration de votre affirmation.