Définition

(Ω,T) un espace probabilisé. On appelle v.a.d toute application X : Ω → a vérifiant :

1) X(Ω) est fini ou dénombrable.
2) Pour tout x appartenant à R X^-1 ({x}) appartient à T.

 

Loi Binômiale

Pour toute vad finie dont la loi de probabilité est de la forme P(X=K) = C^k_n p^k q^n-k on dit que X suit une loi binômiale de paramètre n et p. X → B(n,p).

 

Une expérience suit un schéma de Bernoulli si
on répète une expérience n fois
chaque expérience est indépendante des autres
chaque expérience n'a que 2 issus possibles : une appelée succès realisée avec une probabilité p et l'autre appelée échec realisée avec une probabilité q.

X = nombre de succès X(Ω)={0,1,...,n}
p(X=k) = C^k_n p^k q^n-k .

Exemple : 15 tirs sur une cible, chance de réussite 0,4. on veut 4 succès. X → B(15, 0.4).

P(X=4) = C⁴₁₅ 0.4 ⁴ 0.6 ¹¹.

 

Esperance d'une va

Soit X une vad X(Ω)= {x_i, i appartient à I} I fini ou dénombrable. Si Σ (de i appartenant à I) |x_i| p(X=x_i) est finie on appelle espérance

de X la quantité notée E(X)= Σ (de i appartenant à I) x_i p(X=x_i).

 

Proprietés

Si X et Y 2 vad

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

pour tout λ appartenant à R, E(λX) = λ E(X).

 

Loi de Poisson de paramètre λ >0

X → P(λ) si X(Ω)=N= {0,1,2,...} et pour tout k appartenant à N P(X=k) = (e^-λ λk) / k!.

E(X) = Σ (de i=0 à l'infini) i p(X=i) = Σ (de i=0 à l'infini) i (e^-λ λi) / i! = λ.

Si X → B(n,p) alors E(X) = np.