Faculté de Saint-Jérôme, année 2003-2004

UV M2 TD1 Les nombres complexes

Correction

Exercice 1

Trouver module et argument des nombres complexes :
1 + i, (1 + i)⁷, (1 + i)⁷², 1 - i√3, - √3 - i, (1 - i √3) / ( - √3 -i), (- √3 - i)⁴, (1 + i √3)²⁰⁰³

Exercice 2

Le plan étant muni d'un repère orthonormé (O, ,), determiner les ensembles E, F, G des points M(x,y), d'affixe z tels que:

E : | (1 - i)z + 2i | = 2 ; interpretation géométrique ; équation cartésienne de E dans le repère(O, ,)

F : | z - 1| = | z - (1 + √3) + i | ; interpretation géométrique ; équation cartésienne de F

G : | (z + 1) / (z - 1 + i √3) | = 1 ; interpretation géométrique ; équation cartésienne de G

Exercice 3

1) Déterminer les nombres complexes z tels que : z, (1 - z) et 1/z aient le même module.
2) Déterminer tous les nombres complexes de module 1, tels que z³ -z soit réel (voir si possible, différentes méthodes).

Exercice 4 : Equations dans C

1) Que signifie les expressions "racines carrées", "racines cubiques" d'un nombre complexe Z ?
2) Déterminer les racines carrées de Z = 1 + 4i√3 , et de Z' = 1 + i; méthodes possibles?

3) Résoudre les équations dans C, rédiger convenablement la solution :
a) z⁶ = 1; représenter les points M d'affixe z dans le plan complexe;
b) z³ = 1 + i
c) z⁵ = -1 + i√3
d) z⁷ = -1
e) z⁴ = 1 / (1 + i√3)
f) z⁸ + 4z⁴ +16 = 0

4) Quelles sont les racines cubiques de Z = 1 + e^2iπ/3 ?
5) Résoudre dans C l'équation : Z² - Z + 1 = 0

Exercice 5 : Linéarisation

On ne sait pas, en général, déterminer les primitives des fonctions trigonométriques si celles
ci ne sont pas linéarisées, c'est à dire si elles comportent des exposants strictement supérieurs à 1.
Dans ce but, linéariser les fonctions g, h et donner leurs primitives sur R.
g(x) = sin⁵x
h(x) = cos³x.sin⁴x

Exercices non corrigés à partir du 6.b
Exercice 6

On considère un réel x différent de 2mπ (m appartient à Z).
1)
a) Calculer S_n = Σ (de k =0 à k = n) e^ikx.
b) Calculer la partie imaginaire de Sn.
c) En déduire la valeur de la somme Σ (de k =0 à k = n) sin(kx)

Exercice 7

Résoudre l'équation zⁿ = 1 dans C pour tout entier k appartient { 1, 2, ..., n - 1 }, on notera
w_k = e^(2ikπ)/n . Montrer que pour tout nombre complexe z
1 + z + z ² + ... +z^n-1 = (Z-w₁) ...(Z- w_n-1)
et en déduire que
П (de k = 1 à k = n-1) sin(kπ/n) = n/2^n-1

Exercice 8

Rappeler la formule du binôme de Newton. En calculant (1 + i)ⁿ déduire que
Σ (pour k ≤n, k pair) (-1) k/2 C^k_n = C⁰_n - C²_n + C⁴_n - C⁶_n +...

Exercice 9

Calculer
1 + e^2iπ/5+ e^4iπ/5+ e^6iπ/5+ e^8iπ/5 et en déduire la valeur de
1 + cos 2π/5 + cos 4π/5 +cos 6π/5 + cos 8π/5.
En déduire la valeur de cos 2π/5.