Faculté de Saint-Jérôme, année 2003-2004

UV M2 TD4 Fonctions de plusieurs variables

Correction

Exercice 1

Déterminer les dérivées partielles premières par rapport à x, y, z de la fonction :

f( x, y, z ) = zsin(xy) + cos(xz³)

Exercice 2

Déterminer les dérivées partielles de la fonction :

h(x,y) = ye^x² + xlny

δh/δx et δh/δy, pour (x,y) appartenant D_h, ensemble de définition de h, ainsi que δ²h/δxδy, δ²h/δyδx, δ²h/δx², δ²h/δy².

Exercice 3

Montrer que , c étant un réel donné, la fonction f :

(t,x) → f(t,x) = sin(x - ct) vérifie l'équation différentielle aux dérivées partielles :

δ²f / δt² = c²δ²f/δx².

Cette équation est dite équation des ondes.

Exercice 4

Considérons deux objets ponctuels M et N qui se déplacent dans un plan rapporté à un repère orthonormé. Le mouvement de M est décrit par les équations paramétriques :

x(t) = cost
y(t) = 2sint
celui de N est décrit par
X(t) = sin2t
Y(t) = 3cos2t
On note F, fonction de t, la distance des deux points à l'instant t.
A l'instant t = π, calculer la dérivée dF/dt .
Iinterpréter cette valeur en termes physiques.

Exercice 5

Soit f la fonction vectorielle donnée par

f : R3 → R3
(x,y,z) → (zcosy(sinx+xcosx), -xz.sinx .siny, x.sinx.cosy)

1)Déterminer le gradient de f, la divergence de f, dans un plan rapporté à un repère orthonormé.

2)Montrer que f dérive d'un potentiel que l'on déterminera (méthode au choix).

Exercice 6

Soit g la fonction de R³ dans R : g(x,y,z) = 1/√(x²+y²+z²) : calculer le gradient de g.

Exercice 7

Sur R², on pose : h(x,y) = 1/2 ln( x²+y²+1)

1) Quel est l'ensemble de définition de h ?
Calculer (δh/δx)(x,y) + (δh/δy)(x,y)

2) Montrer que pour tout couple (u,v) de réels, il existe un unique couple (x,y) tel que x+y = u et x-y = v.

A toute fonction f définie sur R², admettant des dérivées partielles premières, on associe F

F(u,v) = f( (u+v)/2 , (u-v)/2 )
Calculer f(x,y) en fonction de F(u,v) et en déduire (δh/δx)(x,y) + (δh/δy)(x,y)

3) On dit que f est solution de (E) si (δh/δx)(x,y) + (δh/δy)(x,y) =(x+y) / (x²+y²+1).
Montrer que f est solution de E si et seulement si

δF(u,v)/δu = u / (u²+v²+2).

En déduire F, puis f solution de (E) retrouver le résultat du 1).