Dérivabilité
Définitions
f dérivable en x0 <=> lim f(x) - f(x0) / x - x0 quand x tend vers x0.
f dérivable en x0 à droite <=> lim f(x) - f(x0) / x - x0 quand x tend vers x0 , x0<x.
f dérivable en x0 à gauche <=> lim f(x) - f(x0) / x - x0 quand x tend vers x0 , x0>x.
f dérivable en x0 <=> f dérivable en x0 à droite et à gauche et les deux derivées ont la même valeur.
Corollaire
f : I → R dérivable en x0 => f est continue en x0.
Proprieté de Leibniz
Soit f,g I → R n-fois derivable. Alors f.g est n-fois derivable et
n
(f.g)(n) = Σ (nk) f (n-k) g(k)
k=0
Dérivées usuelles
voir cours de M2
Maximum et minimum locaux
Théorème de Rolle
Soit f:[a,b]→ R continue
sur l'intervalle [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[. a<b réels. f(a) = f(b).
Alors il existe un réel c appartenant à ]a ; b[ tel que f ' (c) = 0.
Théorème des accroissements finis
Soit f : [a,b]→ R continue sur l'intervalle [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[. a<b réels. Alors il existe un réel c appartenant à ]a ; b[ tel que f ' (c) = f(b) - f(a) / (b-a).
Corollaire
Soit f : [a,b]→ R continue, et f dérivable sur ]a,b[.
a) f ' (x) ≥ 0 ( ≤ 0) pour tout x appartenant ]a,b[ <=> f est croissante (décroissante) sur [a,b].
b) f ' (x) >0 ( < 0) pour tout x appartenant ]a,b[ => f est strictement croissante (décroissante) sur [a,b].
La reciproque de b) est fausse.
Ex : f(x) = x3.
Fonctions convexes et concaves
f : I → R continue et strictement convexe (ou concave) <=>
pour tout x1,x2 appartenant à I, λ appartenant à ]0,1[ on a f(λx1 + (1-λ)x0) < (ou >) λf(x1) + (1-λ)f(x2)
f strictement concave <=> - f convexe.
Proprietés
f convexe <=> f '(x) ≥ 0 pour tout x appartenant à I.
f strictement convexe <= f '(x) > 0 pour tout x appartenant à I. La reciproque est fausse.
Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point de changement de concavité.
Soit f : I → R 2 fois dérivable x0 appartient à I, x0 point d'inflexion de f => f "(x0) = 0
f "(x0) = 0 et f '" existe et f "'(x0) ≠ 0=> soit f : I → R 2 fois dérivable x0 appartient à I, x0 point d'inflexion de f.
Soit x0 appartenant à R, ε > 0, f : [x0 - ε, x0 + ε] → R, (n+1) fois dérivable (n ≥ 1).On suppose
f ' (x0) = f " (x0) = ... = f(n) (x0) = 0 et f(n+1) (x0) ≠ 0.
1) si n ( ≥2) est pair => x0 est un point d'inflexion de f.
2) si n ( ≥1) est impair et f(n+1) (x0) > 0 => x0 est un maximum local isolé de f.
3) si n ( ≥1) est impair et f(n+1) (x0) < 0 => x0 est un minimum local isolé de f.
Soient f,g : [a,b]→ R continue sur l'intervalle [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[. a<b réels, et soit g ' (x) ≠ 0 pour tout x appartenant ]a,b[.
=> x0 appartient à]a,b[
avec f '(x0) / g '(x0) = f(b) f(a) / (g(b) - g(a)).
Soient f,g : ]a,b[→ R, a < b, appartenant R U {+∞, -∞ }. Soit S appartenant à [a,b] et g ' (x) ≠ 0 pour tout x appartenant ]a,b[. Supposons que lim f '(x) / g'(x) quand x tend vers S existe dans R U {+∞, -∞ }.
1) si lim f(x) = lim g(x) = 0 quand x tend vers S.
ou
2) si lim f(x) = lim g(x) = + ou - ∞ quand x tend vers S.
=> lim f(x) / g(x) = lim f '(x) / g'(x) quand x tend vers S.
Corollaire
Soient f,g : ]a,b[→ R, n-fois dérivable, a,b appartenant R U {+∞, -∞ }. Soit S appartenant à [a,b] et g n (x) ≠ 0 pour tout x appartenant ]a,b[. Soit lim f k(x) = g k(x) = 0 (ou + ou -∞) quand x tend vers S pour tout k = 0,1, ... , n - 1.
=> lim f k(x) / g k(x) = lim f n(x) / gn(x) quand x tend vers S.